هر تابع خطی غیرثابت، یک به یک است. (چرا؟) وارون هر یک از توابع خطی زیر را به دست آورید.
الف) $f(x) = x + 5$
ب) $g(x) = 4x$
پ) $u(x) = 2x + 3$
ت) $v(x) = \frac{2}{3}x - 4$
### تابع خطی غیرثابت یک به یک است (چرا؟)
یک تابع خطی غیرثابت به صورت $y = ax + b$ است که در آن **$a \neq 0$** (شیب ناصفر). نمودار این تابع یک خط راست است که **موازی محور $x$ نیست**.
$$\text{توضیح}: \text{هر تابع خطی با شیب ناصفر ($a \neq 0$)، تابعی یک به یک است، زیرا:} \quad \text{اگر } x_1 \neq x_2 \text{ باشد، آنگاه } f(x_1) = ax_1 + b \neq ax_2 + b = f(x_2) \text{ خواهد بود. همچنین، با اعمال **آزمون خط افقی** (Horizontal Line Test)، هر خط افقی نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع می‌کند.}$$
---
### محاسبهٔ وارون توابع خطی
برای یافتن وارون ($f^{-1}(x)$)، معادلهٔ $y = f(x)$ را بر حسب $x$ حل کرده، سپس $x$ را با $y$ جایگزین می‌کنیم.
**الف) $f(x) = x + 5$**
$$y = x + 5$$
$$x = y - 5$$
**وارون**: $$f^{-1}(x) = x - 5$$
**ب) $g(x) = 4x$**
$$y = 4x$$
$$x = \frac{y}{4}$$
**وارون**: $$g^{-1}(x) = \frac{1}{4}x$$
**پ) $u(x) = 2x + 3$**
$$y = 2x + 3$$
$$2x = y - 3$$
$$x = \frac{y - 3}{2} = \frac{1}{2}y - \frac{3}{2}$$
**وارون**: $$u^{-1}(x) = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$$
**ت) $v(x) = \frac{2}{3}x - 4$**
$$y = \frac{2}{3}x - 4$$
$$\frac{2}{3}x = y + 4$$
$$x = \frac{3}{2}(y + 4) = \frac{3}{2}y + 6$$
**وارون**: $$v^{-1}(x) = \frac{3}{2}x + 6$$
الف) چرا نمودار داده شده، نمودار یک تابع یک به یک نیست؟
ب) با حذف تنها یک نقطه، نمودار مقابل را به یک تابع یک به یک تبدیل کنید. مسئله چند جواب دارد؟
نقاط مشخص شده در نمودار عبارتند از: $$(2, 2), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$$
## الف) دلیل یک به یک نبودن
یک تابع زمانی یک به یک نیست که دو مقدار متفاوت در دامنه، به یک مقدار در برد نگاشته شوند. در اینجا:
* $x_1 = 2$ و $x_2 = 4$ هر دو به مقدار $y = 2$ نگاشته شده‌اند. (زوج‌های مرتب $(2, 2)$ و $(4, 2)$)
$$\text{نتیجه}: \text{این تابع یک به یک نیست، زیرا خط افقی } y = 2 \text{ نمودار را در دو نقطه قطع می‌کند.}$$
---
## ب) تبدیل به تابع یک به یک با حذف یک نقطه
برای اینکه تابع به یک تابع یک به یک تبدیل شود، باید تکرار در مؤلفهٔ دوم ($y=2$) حذف شود. این کار با حذف یکی از دو نقطه‌ای که $y$ یکسان دارند، انجام می‌شود:
**۱. حذف نقطهٔ اول**: حذف $(2, 2)$.
$$\text{تابع جدید ۱}: \{(3, 3), (4, 2), (5, 1)\}$$
**۲. حذف نقطهٔ دوم**: حذف $(4, 2)$.
$$\text{تابع جدید ۲}: \{(2, 2), (3, 3), (5, 1)\}$$
$$\text{نتیجه}: \text{با حذف نقطهٔ } (2, 2) \text{ یا } (4, 2) \text{، تابع یک به یک خواهد شد.}$$
$$\text{تعداد جواب}: \mathbf{\text{دو}} \text{ جواب دارد.}$$
